高中数学周期函数的概念是什么

高中数学周期函数的概念是什么

1.函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。

概念的提出：

将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角神文的变化周期性的出现进行对比，城守寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。

出示函数周期性的定义：对见式适速永编华供护于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

“当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.

2来自.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域360问答内的每一个值时,f(x+T)散本望=f(x)

概念的具体化：

当定义中的f(x)=si奏半毛讲架久口己输nx或cosx时，思考T的取值。

T=2kπ(k∈Z且k≠0)

所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为T=2kπ(k∈Z且k≠0)

展示正、余弦函数的图象。

周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）

强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”

令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2

所以2x与象T+T2=0,即T(2x+T)=0

所以T=0或T=-2x

强调定义中的“非零”和“常数”。

例:三角函数sin(x+T)=sinx

cos(x+T)=cosx中的T取2π

3.最小正周期的概念：

对于一个函数f(x)，如果它所有劳内的周期中存在一个将缩体最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

对于正弦函数y=sinx,自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π亲数有。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就获加许目经沙味是最小正周期。）

在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出急继现需要的最短距离。

4.例：求下列函数的周期：

（1）y=3cosx

分析：只要cosx中的自变量只要足法发调英球且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系击数和周期无关。）

（2）y=sin(x+π/4)

分析略，说明在x后面的角也不影响周期。

（3）y=sin2x

分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以自变量x只要且至少增加到x+吗系远色减六松为善π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明远虽把居吗技x的系数对函数的周期有践信求最鸡确影响。）

（4）y=cos(x/2+π/4)（分析略）

（5）y=sin(ωx+φ)（分析略）

结论：形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,xR)的函数的周期为T=(2π-φ)/ω

参考资料：作者：卢冬宝单位：北京市延庆县第三中学个人网页